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國債期貨定價原理

2017-02-21打印返回

1、標準債券的概念

國債合約的標的物是面額為100萬元人民幣,票面利率為3%的5年期國債,這是一個“名義標準債券”,或者稱為“虛擬債券”, 它并不對應著在現券市場上的某一種真實的國債,而是對應的是一籃子的國債組合。這一籃子國債組合可以包括所有距到期日 為4-7年的固定利息國債。他們都可以用來進行交割。國債期貨合約的價格,是用標準債券來交割的價格。而實際可用來交割的 債券,與標準債券具有不同的票面利率、到期時間,或者說是不同的現金流組合,因而也應該有不同的交割價格。那么,如果 我們拿票面價格為100萬元的可交割債券來交割期貨合約,我們可以得到怎樣的交割價格呢?下面我們引入轉換因子和發票價格的概念。


2、轉換因子和發票價格

在國債期貨合約的交割日,合約的賣方可以在可交割債券中選擇國債現券用來交割。用面值100萬的這種可交割債券來交割 的價格被稱為發票價格,用不同的國債現券來交割會得到不同的發票價格。 

國債期貨交割時的發票價格=國債期貨交割結算價×(賣方選擇的可交割國債現券的轉換因子)+該可交割國債現券在期貨交割日的應付利息或者可以簡化為發票價格=期貨價格×轉換因子+應付利息。

以TF1203國債期貨為例,轉換因子實質是面值¥1的可交割債券在其剩余期限內(2012年3月14日至債券到期日)的現金流, 用3%的標準票面利率所折算的凈價。


怎樣來理解轉換因子的概念呢?


國債期貨合約的價格,是用標準債券來交割的價格。即在合約的交割日,合約買方愿以期貨價格買入標準債券, 或者說買入標準債券的未來現金流組合?,F在合約賣方以另外一種債券來交割,也就是說,合約買方將得到另外一組 未來的現金流組合,那么合約買方愿以支付的發票價格是多少呢?首先我們將交割債券的未來現金流組合分為兩部分, 一部分是應付利息,即交割債券從上次付息日到期貨交割結算日的應付利息,一部分為剩余的未來的現金流。我們需要注意的是, 標準債券從交割日的下一日開始計息,因而是沒有應付利息的。


期貨合約的買方要支付交割債券的應付利息,還要為剩余的未來現金流進行支付(發票價格-應付利息)。期貨合約的 買方為交割債券和標準債券支付的交割價格之比應該等于這兩種債券的未來現金流之比,即

(發票價格-應付利息)/期貨價格=交割債券的剩余現金流組合/標準債券的現金流組合。


由于交割債券和標準債券的面值都是100萬,因而(發票價格-應付利息)/期貨價格=面值1元的交割債券的剩余現金流組合/面值1元的標準債券的現金流組合。


如何來衡量現金流組合的比值呢?

可以用上面我們講到的現金流折現原理。可以將交割債券和標準債券的現金流組合用折現率r折現到交割日,即 (發票價格-應付利息)/期貨價格=面值1元的交割債券的剩余現金流按折現率r折現后的價格/面值1元的標準債券按折現率r折現后的價格。

那么,這個r怎么確定呢?中金所規定這個r選用國債期貨合約中設定的基準:利率3%。

標準債券的票面利率是3%,折現率也是3%。我們上文已經講過,當票面利率等于折現率時,債券的價格等于面值, 即面值1元的標準債券按折現率3%折現后的價格等于1,由于標準債券沒有應付利息,凈價和全價都為1。 而交割債券的剩余現金流是去掉應付利息的,因而我們得到的價格是債券的凈值。

因此,上式可以寫為:
(發票價格-應付利息/期貨價格)=面值1元的交割債券按折現率3%折現后的凈價/面值1元的標準債券按折現率3%折現后的凈價=轉換因子

即 轉換因子為交割債券和標準債券按3%折現率計算的在期貨合約交割日的凈價之比。

轉換因子有以下幾個特征:

1、從轉換因子的計算方法可以看出,每個可交割的國債現券對于某個國債期貨合約的轉換因子都是唯一的, 而且由于3%的折現率、和期貨交割日期已經給定,因此轉換因子在整個交割周期里是保持不變的。但對于不同的期貨合約, 如TF1203和TF1206,其交割日期不同,現券對應的轉換因子不同。

2、每個可交割的國債現券其轉換因子的大小與其息票率相對于國債期貨的基準利率的大小有關。如果息票率高于國債期貨 的基準利率,則轉換因子大于1;相反,如果息票率低于國債期貨的基準利率,則轉換因子小于1。

3、同一個可交割的國債現券其轉換因子隨著合約月份的推移,其轉換因子逐漸向1靠攏。這個現象總結起來就是, 如果一個息票率高于國債期貨基準利率的可交割現券,其轉換因子大于1,同時其用于TF1206合約的轉換因子要小于TF1203, 并且其對應越往后的合約轉換因子越??;相反,如果息票率低于國債期貨基準利率的可交割現券,其轉換因子小于1, 其用于TF1206合約的轉換因子卻要大于TF1203,并且其對應越往后的合約轉換因子越大。

4、最便宜可交割債券

所有從期貨合約交割日到債券到期日為4-7年的固定利息國債都可以對國債期貨進行交割。期貨合約的賣方有權利 選擇用來交割的現券。由于市場利率結構的變動以及各個品種流動性的差異等等,有時會出現購買某種債券用于交割 的成本較其他債券更便宜,那么這種債券就成為最便宜的可交割債券。合約賣方可以通過計算買入當前各個可交割現券, 以及它們的持有成本,最后的交割價格,來尋找到最便宜的可交割債券。

如果我們購買某個國債現券,賣空對應的國債期貨合約,然后在n天后國債期貨合約交割時把現貨國債用于期貨的交割, 這樣獲得的理論收益稱之為隱含回購利率。隱含回購利率最高的債券即為最便宜可交割債券。我們賣空了國債期貨合約, 就以期貨合約的當前價格鎖定了合約到期時的交割價格。因此:

5、國債期貨定價原理

由于可以使用國債現券來對國債期貨進行交割,因而,期貨的價格由用來交割的國債現貨價格決定。 下面我們使用持有成本模型來對國債期貨進行定價。

假設債券期貨的交易者在某債券期貨品種的交割時間T之前的時點t進行以下操作:
  (1)賣出一份債券期貨合約,其價格為Ft
  (2)以無風險利率r融資,買入面值為100萬的國債現券,價格為Pt+It, Pt為凈價,It為上個付息日到t的應付利息。

該交易者在時間ti, i=1,…,n收到國債線圈利息收入Ci,并以無風險利率r進行再投資。

該投資者在債券期貨合約的交割日完成了以下操作:

(1)以債券現貨按照鎖定的期貨價格Ft進行交割,得到發票價格Ft×CF+IT, 。CF為該債券的轉換因子,IT為付息日tn到期貨交割日的應付利息。

(2)以所獲得的現金償還借款,并付出利息(Pt+It)×r×(T-t)/365。

(3)收到國債現券利息再投資收入:  

該投資者的現金流如下表所示:

t

ti

T

以無風險利率融資:Pt+It

收到國債利息收入:Ci

交割國債期貨:Ft×CF+IT

購入國債現券:
-(Pt+It)

將利息收入再投資:Ci

償還融資本金及利息
-(Pt+It)×(1+r×(T-t)/365)

賣空期貨合約:0

 

收到國債現券利息再投資收入

總現金流:0

總現金流:0

總現金流:合理值為0

該策略的現金流在t時刻及ti時刻均為0,根據一價定理,該策略在T的現金流也應該是0。因此,根據T時刻現金流為0, 我們得出國債期貨在t的理論價格Ft為

這就是在時刻國債期貨的理論價格。與股指和商品期貨的定價一樣,國債期貨也可以使用。


期貨價格=現貨價格+持有現貨的成本-持有現貨的收益來進行定價。分子中第一項是當前的現券價格,第二項是當前 現券成本持有到交割時的融資成本,第三項是持有現券的利息收益,最后一項是全價對凈價的調整。


有一攬子國債現券可以用來交割,我們究竟應該使用哪個國債現券來計算期貨的價格呢?由于國債期貨的賣方 擁有選擇交割債券的權力,而賣方會選擇最便宜的可交割債券。因此,一般認為,最便宜的可交割現券計算得到的 期貨理論價格是期貨市場上的合理價格。所以是最便宜可交割債券決定了國債期貨合約的價格。


實際上,國債期貨合約的價格要略低于最便宜的可交割現券計算得到的期貨理論價格。隨著市場利率、流動性 等因素的變化,在交割日前,其他債券有可能代替現在的最便宜可交割債券。而期貨合約的賣方則擁有這種在 有利的時候,以其他債券代替現在的最便宜可交割債券進行交割的權力,事實上賣方擁有一個嵌入式期權。

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